j4-dmenu-desktopの–dmenuオプションで、dmenuの起動オプションを指定できるらしい。

たとえば、

  • フォント名: MigMix 1P
  • フォントサイズ: 12

の場合は以下のように指定するとうまくいった。

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j4-dmenu-desktop --dmenu="dmenu -fn 'MigMix 1P-12'"